空間とは何か。(数学)

距離ってなんだろうか?
それは空間をある尺度で測ったものである。

例えば、サイコロの一片の距離はサイコロの対面の間の空間がどれだけ空いているか、それを定規で測れば良い。
尺度というのは様々で、1ヤード、1海里、1cm、様々だ。それらに本質的な意味はなく、ただ人間が便利だからその尺度を利用しているにすぎない。

では、空間とはなんだ?
古典力学体系では距離[m]を3乗した次元、すなはちユークリッド空間のことだろう。単に、三本の座標軸によって定められた位置の集まり。これが空間である。


一方、現代物理学では空間はぐにゃぐにゃと曲がっているようだ。重力によって空間が曲げられ、2点の最短距離はふたつをつなぐ直線ではなく、曲線になりうる。上のイメージを参考にせよ。

メルカトル図法の地図も空間の一種だろう。次元は一つ低いが、本質的に何も変わらない。地図にはいくつもの国が書かれており、国同士で近さ比べができるし、距離も測ることができる。
ただ、このメルカトル図法の地図は不均一な空間である。地図上でおなじ1cmをとったとしても、赤道上でとるのとヨーロッパあたりでとる1cmは実際の長さが違う。地図の上辺や下辺でとった1cmは実際は点になる。こうやって考えると、メルカトル図法の世界地図は実にいびつな空間だ。


では、電車の路面図を見たことがあるだろうか。あれは各駅間の結びつきをわかりやすく書いたものだが、あれは距離という概念は完全に無視している。だが、駅の近さ比べはできる。路線図を見ると、確かに籠原駅に対して、大宮駅より東京駅の方が遠い。ここでいう近さとは実際の距離ではなく、電車を使った時の近さだ。
これは空間である。
空間とは何か、数学者は常日頃考えてきた。考えても考えてもわからない。だからあらゆる例をあげて、その共通部分や、本質的に何がその性質を生み出しているのかを徹底的に調べ上げた。そして、数学者は空間を4つの法則に抽象化させたのだ。
空間の定義:

Xは全てのものの集まり、OはXの部分集合(Xの一部分)の集まり

  1. O_1,O_2がOに含まれていれば、その共通部分もOに含まれている。
  2. Oに含まれるものを好きなように選び、それを合わせたものがOに含まれる。
  3. XはOに含まれる。
  4. 空集合φはOに含まれる。

私の文章力ではどうやっても簡単にかつ厳密に説明できる道がなかったので、特に2番は微妙だと前もっていっておく。


たとえばこういうことだ。Oにはちゃんとxもφも含まれているし、Oの元でつくられる共通部分も和集合もOのなかに入っている。

このXとOを合わせて、位相と数学では言う。

数学には集合という概念があり、それは簡単にいうと「ものの集まり」だ。こういうと反例が生まれて数学的によろしくないのだが、今回はこれで許してほしい。

ものの集まりに先ほどのOを与えることで、その集合は空間へと昇華する。

位相空間とは近さの概念を究極的に抽象化したものである。これを見ただけで位相空間がわかる人間がいたらぜひ数学を学ぶべきだ。それほどまでに抽象化されてしまっている。

さて、空間の本質とはなんだろうかという問いがあった。それに対して、私はこう答える。

空間の本質とは、近さ比べができることだ。

どれくらい近いのかはどうでもいい。二つのものがあったら、どちらが近いのかが判断できればそこに空間がある。では、近いとはどのように判断するのか?答えは分類である。

日本に対して中国とアメリカ、どちらがより近い?中国はアジアの東部という集合に属する。日本海を挟んだ向こう側という集合に属する。日本から近いという集合に属する。

一方、アメリカはアメリカ大陸という集合に属する。太平洋の向こう側という集合に属する。遠いという集合に属する。

我々は近さ比べをする時、ふたつのものがどの集合に属するかで判断しているのだ。

先進国という視点から見れば、日本はアフガニスタンよりアメリカに「近い」とも言う。太郎くんと次郎くんの背の高さが拮抗していれば、太郎くんは次郎くんと「近い」とも言う。

近さとは単に距離だけではない。あらゆるものに近さが存在する。そして、それら全ての近さは例外なく、集合を考えることで近さを測っている。

だから、集合の中でも基礎的な二つの概念、和集合や共通部分などが定義に出てきた。

これが位相だ。位相とは、空間の本質を学び、様々な空間を考える。現代数学で根底にある考え、基礎の基礎である。




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・東京理科大理工学部数学科一年の大越英叶。 ・みんなからは親しみを込めて「えいとさん」とよばれる。 ・読書、哲学、数学、クラシックがだいすき。 ・世の中は無常だということを最近理解し始めた。 ・好きな分野:哲学.倫理学.物理学.数学.神学.神話.タロット.C言語.文学.古典.その他 ・苦手な分野:歴史.芸能.地理.時事.ファッション.芸術.アニメ.漫画.経済.その他